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阿蒂亚：美妙的数学之梦
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本文为2016年Quantum Magazine对迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）的采访。尽管当时已逾八十高龄，被誉为“数学媒人”的英国卓越数学家迈克尔·阿蒂亚仍然致力于解决“大”问题，梦想将量子理论和引力统一。
迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）有很多荣誉：菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主；英国皇家学会（世界上最古老的科学团体）前会长；爱丁堡皇家学会前会长；剑桥大学三一学院前院长；迈克尔·阿蒂亚被授予爵士封号并且获得皇家功绩勋章，同时也被誉为英国真正的数学教皇。尽管如此，在众多的称号之中，对他最恰当的描述莫过于“媒人”（matchmaker）。迈克尔·阿蒂亚对于不同知识之间的联系有着敏锐的直觉，凭借这种超凡的洞察力，他在半个多世纪的学术生涯中，不仅建立了数学领域里许多看似并不相干的想法间的桥梁，还很好地将数学和物理融合在一起。
2013年春的某一天，当迈克尔·阿蒂亚坐在白金汉宫的女王美术馆，等待和伊丽莎白二世（Elizabeth Ⅱ）共享年度功绩勋章的午宴时，他就为他一生的朋友和同事、伟大的数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）爵士指引了方向。
2017年爱丁堡大学授予彭罗斯（左）科学荣誉博士学位，阿蒂亚为其授予者（Laureator）丨图片来源：maths.ed.ac.uk
彭罗斯一直致力于发展他的“扭量理论”（twistor theory）——这条通往量子量子引力的路径，已经被研究了近50年。“我有一个解决它的方法，这个方法要考虑无穷的情况，”彭罗斯说道，“试着在无穷的情况下解决这个问题然后再回来。”他认为一定会有一个更简单的方法。听了彭罗斯描述的问题后，阿蒂亚当即想了想，然后建议彭罗斯试着用一种“非交换代数”。
“我当时就想，‘哦，我的天啊!’”彭罗斯说道，“我一直知道扭量理论中有非交换代数的存在，但从未想过使用非交换代数的方法。很多人都认为这样并不会奏效，然而迈克尔可以很快地察觉到如何利用非交换代数，而且事实证明他的想法确实有效地解决了这一难题。”考虑到阿蒂亚给出建议的地点，彭罗斯改进并提出了著名的“华丽扭量理论”（palatial twistor theory）。
迈克尔·阿蒂亚（中）在莫斯科接受1966年的菲尔兹奖。丨图片来源：Michael Atiyah
这就是阿蒂亚的力量。粗略地来说，他用前半生建立了数学不同方向之间的纽带，又用后半生建立了数学和物理之间的桥梁。
阿蒂亚最著名的成就是他和麻省理工学院的艾沙道尔·辛格（Isadore Singer）于1963年合作提出的“指标定理”（index theorem）。这一理论又被称为阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer index theorem），它建立了分析和拓扑之间的联系，这一联系在数学和物理领域中都有非常重要的应用。基于这一成就，阿蒂亚不仅获得了1966年的菲尔兹奖，而且与辛格一同获得了2004年的阿贝尔奖。
在上世纪80年代，由指标定理得到的方法在弦论（string theory）的发展中起到了意想不到的作用。科学家们尝试将宏观的广义相对论和微观的量子力学结合在一起，尤其是普林斯顿高等研究院的弦论专家爱德华·威滕（Edward Witten）的工作。威滕和阿蒂亚就此展开了深入的合作，由此威滕在1990年成为首位获得菲尔兹奖的物理学家，并且由阿蒂亚作为他的工作报告人。
现在，已经86岁的阿蒂亚几乎没有降低要求，他仍然致力于解决大问题（编者注：原文发表于2016年，阿蒂亚于2019年去世），尝试着编织量子力学和万有引力之间的联系。在这个领域的前沿，新兴思想不断地更新和涌现。但正如阿蒂亚自己所说，这些仅仅是直觉性的、仅凭想象的、模糊不清的、令人难以理解的一些想法。
不过，他仍享受这种自由肆意的创造力，并填满了自己的行程。为了将已有的观察和思考为世人所熟识，阿蒂亚于2015年12月在爱丁堡大学一天接连做了两场演讲。自1997年开始，阿蒂亚就是爱丁堡大学的荣誉教授。他非常热衷于分享他的新想法，并且希望可以吸引一些支持者。为此，他于11月在爱丁堡皇家学会主持了名为“科学之美”的会议。利用会议的间隙，Quanta Magazine对阿蒂亚做了一个简单的采访，以下是一些编辑整理过的访谈内容。
阿蒂亚: 我出生于86年前，那便是我兴趣开始的时候。我出生在佛罗伦萨，最初我的父母想要给我取名叫米开朗基罗。但是有人说，“对于一个小男孩，这个名字过于意义重大了。”如果真的叫米开朗基罗，于我而言那将是一个灾难——因为我不会画画，也没有任何绘画的天赋。
Q：您曾经提到，在罗杰·彭罗斯名为“艺术在数学中的角色”（The Role of Art in Mathematics）的演讲中，一些东西让您“灵光一闪”（clicked），促使您拥有了与他合作论文的想法。能否描述一下具体是什么让您“灵光一闪”呢？是演讲的过程还是他的陈述？
阿蒂亚：那是一种你曾经看到过的东西，即真理或者真实存在，它就在那里凝视着你。真理每时每刻都在看着你，你并不需要去寻找它。它就在纸上闪闪发亮。
Q：这通常是您获得灵感的方式吗？
阿蒂亚：这有一个精彩的说法。数学最让人着迷的部分就是当一个想法在你的脑海中浮现的时刻。这个时刻通常发生在你睡觉的时候，因为那时你受到的拘束最少。想法就从天而降。它浮现在天空中，你看到它，赞叹它的色彩。它就在那儿。然后在某个阶段，当你试图去捕捉它，将它放在一个稳固的框架中，或者想将它由虚幻变为现实的时候，它就消失不见了。然而，它会被一个结构所代替，这个结构只捕捉到了某些特定的部分，这是一个让人难以理解的解释。
Q：您是否总有数学梦？
阿蒂亚：我想是的。这样的梦有时发生在白天，有时发生在晚上。或者，你可以将它们称作幻影或者直觉。但本质上，它是一种想法——没有文字、没有图像、也没有公式或说明。它是所有这些具体形式的先兆，是柏拉图主义的先兆，是最原始的灵感。再一次地，当你试图抓住它时，它却消失不见。因此，当你每天早上醒来，一些模糊的残余物徘徊在脑中，像是某种思想的幻影。你努力想要记起那是什么，却只能想起其中的一部分，那就是你所能做的全部了。
Q：想象是其中的一部分吗？
阿蒂亚：当然！在想象中进行时间穿梭是轻而易举的——你甚至不需要买票。人们回过头去看，想象自己是宇宙大爆炸的一部分，然后询问在那之前发生过什么。
Q：是什么引导着想象？是美吗？
阿蒂亚：那不是一种你所能确切辨认出的美，而是一种更为抽象的美。
Q：不久前，您和伦敦大学学院的神经生物学家赛米尔·泽奇（Semir Zeki）以其他合作者共同发表了一个研究，名为《探索数学之美及其神经联系》（The Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates）。
阿蒂亚：这是我所写过的读者最多的文章！众所周知，当你欣赏悠扬的音乐、典雅的诗词或美丽的图片时，大脑中的同一个部位会产生兴奋，这一部位即“情绪大脑”，专业术语为眶额皮层（orbitofrontal cortex）。那么问题来了：当你感受数学之美时，大脑中兴奋的部位是一样的吗？答案是：是一样的。大脑中用来欣赏音乐、艺术及诗词之美的部位，也同样用来领悟数学之美。这是一个重要的发现。
Q：您的这个结论是利用功能性磁共振成像（functional MRI）记录数学家大脑对于不同数学公式的反应得到的。哪个公式赢得了最美数学公式的称号呢?
阿蒂亚：最著名的欧拉恒等式！
这个公式包含了π，自然常数e（也叫欧拉常数），虚数单位i，还有数字1和0。它不仅在一个公式中结合了数学中所有最重要的符号，而且这个公式真的非常深刻。因此，大家公认其为最美的公式。我曾经说过，它在数学中的地位等同于《哈姆雷特》中的名句“to be, or not to be”——非常短、非常简洁，但同时非常深刻。欧拉恒等式只有5个符号，但是包含了最美最深刻的思想。简洁是美很重要的一部分。
Q：您凭借两个极其优美的工作为人所熟知，一个是著名的指标定理，另一个是和德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）共同提出的K-理论。请简单介绍一下K-理论。
阿蒂亚：指标定理和K-理论就像是同一枚硬币的两面。它们殊途同归，你无法将它们分开。它们以不同的方式和物理学联系在一起。
K-理论研究平直空间和平直空间的移动。比如说，我们考虑一个球，就像地球，我们将一本大书放在地球表面并来回移动这本书。这就是一个平面几何图形在一个弯曲表面上移动的实际模型。K-理论研究拓扑与几何中的这些情况。它起源于我们在地球上的导航。
我们曾用来探索地球的地图，也可以用来探索宏观宇宙，向太空发射火箭，或用来探索微观宇宙，研究分子和原子。我现在所做的就是试图将所有的这些统一在一起，而K-理论就是研究这些问题很自然的方法。人们已经研究类似的“绘图”好几百年了，今后我们或许还要再研究几千年。
Q：K-理论和指标定理在物理学中有如此重要的应用是否让您出乎意料？
阿蒂亚：是的。我做这些几何方面的工作时，完全没有意识到会和物理领域联系在一起。当人们提醒我说“你做的工作可以和物理联系在一起”时，我感到非常震惊。因此我尽快地学习物理，和优秀的物理学家交流，来理解发生了什么。
Q：您和威滕的合作是源于怎样的契机？
阿蒂亚：1977年在波士顿遇到他时，我正在探寻物理和数学之间的联系。我参加了一个会议，会议上既有年轻人，也有一些老家伙。我们聊了起来，几分钟后我意识到一个年轻的小伙子比那些老家伙们聪明得多。他明白我所说的所有的数学知识，我因此开始关注他。这个人就是威腾。从那以后我一直和他保持联系。
Q：和他（威滕）一起工作是什么样的？
阿蒂亚：2001年，他在加州理工学院做访问教授，并邀请我去那里。在那里我感觉自己又回到了研究生时代。每天早上，我会去学院找威滕，大概讨论一个小时左右。他会给我布置家庭作业。然后我用接下来的23个小时努力完成作业。与此同时，他也会去做很多其他的事情。我们之间的合作十分紧密。对于我来说，这是一段非常不可思议的经历，就像是和一位非常优秀的导师一起工作一样。我的意思是，他总是能比我先知道问题的答案。如果我们观点不一致，那么结果总是他是对的而我是错的。这让人非常尴尬！
Q：您曾经说过，数学和物理之间令人出乎意料的内在关联是最吸引您的地方——您乐于将自己置于一个未知的领域。
阿蒂亚：是的。你知道，很多数学工作都是有迹可寻的。一些人告诉你怎样解决一个问题，然后你再做类似的工作。你每向前走一步，都是遵循着前人的脚步。偶尔，有人提出一个完全不同的想法，震惊所有人。刚开始的时候，人们不相信这个想法，当人们认可它时，它引导向一个崭新的领域。数学的进展是时断时续的。它有连续性的发展，而一旦有人提出一个新的想法，便出现不连续的间断。这些才是真正重要的想法。当有人提出它们的时候，它们就有了深刻的影响。可能我们就处在另一个新想法的边缘。100年前爱因斯坦有一个好想法，现在我们需要另一个想法来带领我们前进。
但是这个（得到新想法的）方式应是更具调查性的而不是指导性的。如果你试图引导科学，那么你只要人们按照你所告诉他们的方向前进。所有的科学都来自于那些能够发现有趣小路的人们。你需要用灵活的方式去探索，让不同的人去尝试不同的事情。这是件很困难的事情，因为如果你不随研究的潮流，你就找不到职位。
如果你担忧未来，那么你就只能循规蹈矩。这就是现代科学最大的弊病。幸运的是，当你到了我这个年纪，你就不再需要为这些事情而困扰。我可以畅所欲言。
Q：近来，您在尝试用一些新的想法来打破物理学中的僵局吗?
阿蒂亚：你知道，原子物理研究电子、质子、中子所构成的原子结构。在这个极其微观的领域，大多数物理定律是适用的，但同时也存在着一个被忽略的力——引力。引力无处不在，因为它源于整个宇宙的质量，由于引力没有正值和负值，因此它无法相互抵消，只能叠加在一起。无论黑洞和银河相隔多远，它们都会对宇宙中的任何一处施加一个微小的力，即便是对电子或者质子。但是一些物理学家认为，“这个引力很小以至于你可以忽略它；我们无法测量这么小的东西，即便忽略它我们也能解释很多的物理现象。”而我的出发点就是这种观点是错误的。如果你纠正了这个错误，你会得到一个更好的理论。
我最近在重新研究一些大概100年前的想法，当时人们不能理解这些想法能够带来怎样的结果，所以放弃了它们。物体和引力之间是如何相互影响的？爱因斯坦的理论是，如果你将一个小东西放置在空间中，那么它将改变空间的曲率。当空间曲率变化之后，它又反作用于这个物质。这是一套非常复杂的反馈机制。
我正在重新揣摩爱因斯坦和狄拉克的想法，并用新的视角来看待它们，我觉得我正在发现人们曾忽略的东西。我在填补历史的漏洞，获得新的发现。这就如同考古学家将旧的东西挖出来，或历史学家找到一个新的手稿一样，它们都会带来新的曙光——这就是我正在做的事情。我并不去图书馆翻阅文献，而只是静静地坐在家中，思考。如果你思考得足够深入，那么最终会得到一个好的想法。
Q：您的意思是，引力不可以被忽略？
阿蒂亚：我认为，物理学家们遇到的所有难题都是因为忽略了引力。你不应该忽略它。关键在于，如果你考虑了引力，我相信数学上将会得到简化；如果你忽略引力，那么你就把事情弄得更复杂了。
很多人认为，在原子物理中，无需考虑引力。这个尺度非常小，以至于我们在进行计算的时候完全可以忽略它。在某种意义上，如果你仅仅想要得到答案，那么这样做是可行的。但是如果你想要全面地理解这个问题，那么忽略它就是一个错误的选择。
或许我是错的，尽管我并不这么认为。因为一旦你采用了这个想法，就会得到各种漂亮的结果，这时候数学上、物理上和哲学上都是统一的。
Q：威滕怎样看待您的新想法?
阿蒂亚：哦，这是一个极具挑战的事情。之前我曾跟他提到过我的一些想法，他认为这些想法是毫无希望的，并且给出了10种不同的理由来解释为什么这些想法不会奏效。现在，我认为我可以捍卫我的立场。我花了大量的时间思考，从不同的角度去思考这个问题，并再回过头来反复咀嚼。我希望我可以说服他承认我的新方法是有价值的。
Q：您正冒着丧失名誉的风险，但是您仍然认为这是值得的。
阿蒂亚：我的声望是通过作为一名数学家得到的。如果我现在把它弄得一团糟，人们将会说：“是的，他曾是一名优秀的数学家，但在他生命将要结束的时候他丧失了理智。”
就在我进入物理领域的时候，我的一个朋友，约翰·鲍金霍恩（John Polkinghorne）离开了物理学，他去了教会并且成为了一名神学家。在我80岁的生日上我们曾经讨论过，他对我说，“你没有什么可以失去的了，尽管勇往直前，去思考你想思考的事情。”这就是我现在所做的事情。我已经得到了我需要的所有奖项，我还能失去什么？这就是为什么我在冒着一个年轻学者不敢冒的风险。
Q：在学术生涯的这个阶段，您对于新想法还有如此的热情，是否连自己也感到吃惊?
阿蒂亚：我的一个儿子跟我说，“（这是）不可能的，爸爸。数学家通常在他们40岁的时候做出最出色的工作。而你现在已经超过80岁了。你不可能有一个好的想法了。”
如果你在80多岁的时候仍然清醒且保持理智，你就拥有活到这个年龄的优势：你已看透很多事情。我现在86岁了，这是我还能思考新想法的最后几年。新的想法无处不在，你从各处得到一些，现在时机成熟了，尽管五年前或十年前它可能还不成熟。
Q：有没有一个一直指引着您的大问题?
阿蒂亚：我一直试着理解事物是如何工作的。如果得到一个公式却不知道它的确切意义，我认为这是没有意义的。我一直试图深究事物背后的东西，所以如果我得到一个公式，我要知道为什么会有这样的公式存在。理解是一个非常困难的过程。
人们认为数学是从当你写下一个定理然后给出证明开始的。但其实这并不是开始，而只是结果。对于我来说，数学中的创造力来自于你把东西写在纸上之前，在你试图写下一个具体的公式之前。你看到许多不同的事物并且在脑海中反复揣摩，你试着去创造，就像音乐家努力创作音乐或者诗人写诗。并不存在一个具体的创造法则，你必须用你自己的方式去做。不过在最后，就像一个作曲家需要把乐谱写在纸上一样，你也需要把你所思考的东西写下来。在这整个过程中最重要的一步是理解。证明本身不能帮你理解，你可以有一个很长的证明却不知道为什么会是这样的。为了理解它是如何起作用的，你需要对事物有一个本能的反应。你要尝试着去感受它。
本文转自算法与数学之美，《返朴》刊发时略有改动，原文链接：https://www.quantamagazine.org/michael-atiyahs-mathematical-dreams-20160303/
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